Hechos Curiosos de Matemática

RAZONAMIENTO ALTERNO www.sabiasque.info

¿Podrías decir cuál es el orden de los siguientes numeros? 0 5 4 2 9 8 6 7 3 1 . Está fácil, pero a la vez muy difícil. Si después de pensar unos 5 minutos no se te ocurre, marca el siguiente texto: Estamos acostumbardos a resolver los problemas de una sola forma y por ello a ver los números sólo como números, pero si pensamos en la palabra asociada a cada dígito, vemos que el oreden es alfabético: cero, cinco, cuatro, dos, nueve, etc..

Aquí hay otro similar: ¿Qué letra continúa en la siguiente serie? U D T C C S S O N

¿Y en la serie: I V X L ... ?

¿Qué figura sigue en la secuencia?

MONEDAS

Tenemos 8 monedas idénticas a la vista, pero una es falsa y pesa menos. ¿cómo identificar la moneda falsa con sólo 2 pesadas en una balanza?

Tenemos 10 sacos de monedas iguales que pesan 10 gramos cada una. Pero un saco proviene de una máquina defectuosa que está produciendo monedas de 9 gramos. ¿cómo saber cuál es el saco con monedas de menor peso haciendo sólo una pesada en una báscula?

9 PUNTOS www.sabiasque.info

Une los 9 puntos de la figura con un solo trazo de 4 líneas rectas.

PARTES IGUALES

Divide la figura en 4 partes iguales.

¿Puedes partir un pastel en 8 partes iguales con sólo 3 cortes rectos?

CADENA

¿Cómo unir 5 trozos de cadena de 3 eslabones cada uno, haciendo sólo 3 cortes?. OOO OOO OOO OOO OOO

¿PORQUÉ NO HAY PREMIO NOBEL EN MATEMÁTICAS?

Se cuentan varias historias: La más conocida dice que la esposa de Nobel tenía amoríos con Mittag-Leffler un matemático de la época por lo que en venganza no incluyó dicha asignatura en los premios. Otra dice que se llevaba mal con Mittag-Leffler quien tendría posibilidades de ganar el premio. Parece que ninguna de ellas es cierta pues Nobel no era casado y apenas conocía a dicho personaje. Se cree que la verdadera razón es que Nobel consideraba las matemáticas poco útiles en la vida práctica.

PORCENTAJES

El uso de porcentajes es muy útil; sin embargo a veces puede ser confuso y hasta engañoso. Por ejemplo si la bolsa de valores baja en un mes el 50% y al mes siguiente sube el 60% podríamos pensar que hay una ganancia neta de 10% sin embargo no hay ganancia sino pérdida del 20%. (si el valor inicial es 100, al término del primer mes el valor sería 50 y un aumento del 60% equivale a 30 puntos, por lo que al término del segundo mes el valor es de 80, lo que significa una pérdida de 20% respecto al valor inicial de 100). Otro ejemplo: Si compro un producto en 10 pesos y lo vendo en 15, la utilidad es del 50% respecto al costo pero del 33% respecto al precio de venta.

LIMONES

3 docenas de limones cuestan tantos pesos como limones dan por 16 pesos. ¿cuánto vale la docena?

REPARTIENDO EL TRABAJO

Una persona puede hacer un trabajo en 2 horas, mientras otra lo hace en 3. ¿en cuánto tiempo lo podrán hacer las dos a la vez?. Aunque suena trivial y no requiere mayores matemáticas, pocos lo saben resolver. Si se reparten el trabajo a la mitad, el primero terminará en una hora y el segundo en hora y media. Por tanto si el primero al terminar le ayuda al segundo, terminarán en un tiempo comprendido entre 1 y 1.5 horas. La respuesta es: 1 / ( 1 / 2 + 1 / 3 ) = 1 / ( 5 / 6 ) = 6 / 5 = 1.2

RESULTADOS INESPERADOS www.sabiasque.info

Si te ofrecieran aumentar el sueldo en forma sucesiva $500 cada quincena o $1,500 cada mes ¿qué escogerías?. Haz cuentas (1a quincena +$500, segunda +$1000, tercera +$1500, etc.) y verás que a veces la respuesta lógica no es la correcta.

El número 142857 tiene la particularidad de que si se multiplica por 2,3,4,5 y 6 se obtienen números con los mismos dígitos y en el mismo orden pero con la posición corrida. Sin embargo al multiplicarlo por 7 se obtiene algo muy distinto.

Si pudieras cortar una hoja tamaño carta con grueso de 0.1 mm en cuadritos de un milímetro y formar con ellos una torre ¿qué altura alcanzaría : 10 cm, 50 cm, 90 cm, 2 m, 6m ?

Si pudieras cortar la misma hoja a la mitad y cada mitad a la mitad, y así 30 veces. ¿qué altura alcanzaría la torre: 10 cm, 1 m, 100 m, 1 km, 100 km ?

Para enviar un correo a todos los habitantes del mundo (5,000 millones) ¿cuántas series se requieren si lo envía a 10 personas y les pide que a su vez lo envíen a otras 10 distintas de modo que una persona no lo reciba 2 veces?

Trata de recortar en una hoja carta el agujero más grande que puedas. Aunque no lo creas, hay una forma de hacerlo de manera que el orificio sea mayor al tamaño de la hoja misma; de hecho puedes fácilmente lograr un marco de 1 metro de diámetro.

Uno de los resultados inesperados más famosos es el que se cuenta sobre la invención del ajedrez: gustó tanto el juego a un rey persa que ofreció al inventor darle lo que pidiera. Éste pidió un grano de trigo por el primer cuadro del tablero, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto, y así sucesivamente hasta considerar los 64 cuadros. El rey, considerando trivial la solicitud, ordenó cumplirla, lo cual fue imposible pues la cantidad 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ...... + 2^63 = 2^64 - 1 (2 elevado a la potencia 64 o sea multiplicado 64 veces por sí mismo) es tan grande que aún hoy en día es miles de veces superior a la cosecha mundial anual de trigo. Para darnos una idea de lo grande de este número diremos que es mucho mayor al número de segundos que han transcurrido desde que se cree inició el universo hace 15,000 millones de años.

Si usted mira con binoculares un barco acercándose a la costa, ¿lo verá acercarse más rápido o más despacio?. Primero conteste intuitivamente y después haga cálculos.

Al decir los números en inglés del 1 al 100 cuál es el primero que tiene una letra A. R= NINGUNO

No puede doblarse una hoja de papel carta a la mitad más de 7 veces. Inténtelo.

PARADOJAS www.sabiasque.info

Si alguien dice "estoy mintiendo" ¿estará diciendo la verdad? Si dice la verdad entonces miente y si miente entonces dice la verdad.

El barbero del pueblo afeita a todos los hombres que no se afeitan solos. ¿quién afeita al barbero?. R= Estas dos paradojas no tienen solución; son afirmaciones mal planteadas que llevan a una contradicción.

Una de las paradojas más antiguas es aquella del árabe que heredó a sus 3 hijos una cuadra de 17 caballos que habrían de repartir del siguiente modo: al mayor la mitad de los caballos, al segundo un tercio y al menor un noveno. Los herederos pidieron el consejo de un sabio pues no sabían como repartir los caballos sin llamar al carnicero. El sabio llevó un caballo de su propiedad y procedió al reparto. Siendo entonces 18 caballos, entregó 9 al mayor, 6 al segundo y 2 al menor. Habiendo entregado 17 caballos, tomó el suyo y se marchó. ¿El truco?. La suma 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 9 no es 1 como debía ocurrir sino 17 / 18 . El padre no andaba bien en aritmética o quiso poner a pensar a sus hijos.

Demostración de que 2=1. Supongamos que B=A multiplicando por B: B²=AB , restando A²: B²-A²=AB-A², factorizando (B-A)(B+A)=A(B-A) dividiendo entre B-A: B+A=A y como B=A entonces 2A=A por lo que 2=1. R= EL ERROR ESTÁ AL DIVIDIR ENTRE B - A QUE ES CERO (YA QUE COMENZAMOS SUPONIENDO QUE B = A).. EN OTRAS PALABRAS: NO PORQUE 2 x 0 = 1 x 0 PODEMOS CONCLUIR QUE 2=1. CONCLUSIÓN: NO ES VÁLIDO DIVIDIR ENTRE CERO.

Otra paradoja: en un cuadrado de área 64 unidades (8 por lado) recorta las 4 piezas A B C y D. Ahora acomódalas como en la figura de la derecha. El área parece haber aumentado a 65 unidades. ¿donde está el error?

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TELEVISIÓN DE 100 PULGADAS

¿Sabías que puedes tener una TV de 100" o más por sólo $6,700 pesos +iva. Más información en www.proyectores.info

PESOS y MEDIDAS

Con una balanza y 4 pesas de 1, 3, 9 y 27 kg. podrá pesar cualquier objeto de 1 a 40 kilos. Por ejemplo para pesar 22 kilos ponemos en un platillo las pesas de 27, 3 y 1 y en el otro la de 9 Kg.

¿Cómo medir 9 minutos con relojes de arena de 4 y 7 minutos? R: P onemos los 2 relojes. A los 4 minutos invertimos el primero, a los 7 el segundo; a los 8 minutos vuelve a terminar el primero; en ese momento invertimos el segundo que lleva un minuto, con lo que podemos medir el minuto restante.

¿Cómo medir 1 litro con jarras de 3 y 5 litros?

Uno más difícil: ¿Cómo medir 15 segundos teniendo sólo 2 palillos que se consumen en un minuto y un encendedor? Piensa primero cómo medir 30 segundos utilizando uno sólo de los palillos. R: Encendemos uno de los palillos por los dos extremos y el otro sólo en un extremo. A los 30 segundos se consume el primero y el segundo debe llegar a la mitad. En ese momento encendemos el otro extremo. Quince segundos después debe consumirse el segundo palillo.

EL PROBLEMA DE LOS 4 COLORES

"Bastan 4 colores para iluminar cualquier mapa de manera que no haya dos países vecinos del mismo color". Ya los cartógrafos renacentistas lo sabían; sin embargo fue hasta 1850 que un estudiante inglés lo planteó como un problema matemático. En 1879 Alfred Kempe publicó la demostración en la revista Nature e ingresó a la "Royal Society", pero pocos años más tarde se le descubrieron errores. Casi 100 años después en 1976 dos norteamericanos lo demostraron usando una supercomputadora Cray que analizó todos los tipos de mapas durante 1,200 horas. Pero muchos argumentaron que no era una demostración válida. En 1996 otros norteamericanos publicaron una demostración que hasta ahora nadie ha refutado.

EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

La ecuación a² + b² = c² tiene muchas soluciones con números enteros (distintos de cero) como 3, 4 y 5 y puede interpretarse como el teorema de Pitágoras donde a y b son los catetos y c la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Pierre de Fermat planteó en 1637 que no hay soluciones enteras a la ecuación a^n + b^n = c^n cuando n es mayor a dos o en otras palabras "no es posible expresar un cubo como la suma de dos cubos y en general cualquier potencia mayor a dos como la suma de dos potencias iguales". Fermat escribió en el margen de un libro: "Poseo una demostración maravillosa pero no cabe en este espacio". Esta anotación, descubierta años después por su hijo, puso en marcha una de las epopeyas más apasionantes en la historia de las matemáticas. Cientos de matemáticos intentaron sin éxito demostrar el teorema durante más de TRESCIENTOS CINCUENTA AÑOS. Fue hasta 1997 en que Andrew Wiles lo logró después de muchos años de trabajo y 130 páginas de matemáticas de primera línea. Hoy por hoy, nadie cree que Fermat haya en verdad tenido una demostración.

PI 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 ...........

Pi es la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro. Esta razón es un poco mayor a 3 y es la misma sin importar el tamaño del círculo. Se trata de un número irracional (no puede expresarse como una fracción y por tanto tiene un número infinito de decimales no periódicos; es decir, no se repiten ni en grupos). Desde la antigüedad muchos matemáticos han dedicado años a Pi y al cálculo de sus decimales. William Shanks, matemático inglés, dedico 20 años de su vida a la obtención de 707 decimales. (En 1945 se descubrió que había cometido un error en el decimal 528 y a partir de éste todos los demás eran incorrectos). Actualmente usando supercomputadoras se han calculado más de 1 billón de decimales sin encontrar ningún patrón que permita predecir más cifras. Esta cantidad es tan larga que para escribirla se ocuparían 100 millones de hojas por ambos lados, que a su vez formarían una torre de 10 kilómetros de altura y sin embargo no es nada comparado con el infinito. Entre las fórmulas más sencillas para Pi están: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pi

NIVELES DE INFINITO

El infinito es un tema muy interesante, complejo y paradójico que ha atraído a muchos matemáticos. El infinito más "simple" es el de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...... . Podría pensarse que los números enteros: .... -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5 ...... son el doble. Sin embargo de acuerdo a la definición del matemático Georg Cantor (dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si pueden hacerse corresponder sus elementos uno a uno), puede verse que tienen la misma cardinalidad ya que podemos enumerar a los enteros de la siguiente forma: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, ........

Los números racionales (fracicones o decimales periódicos) son muchísimos más, ya que entre cada 2 naturales hay infinidad de ellos. Sin embargo su conjunto también es enumerable y por tanto, por ilógico que parezca, tiene la misma cardinalidad o el mismo "grado de infinitud". Los números irracionales (número infinito de decimales no periódicos); en cambio, no pueden enumerarse por lo que su cardinalidad es un infinito mayor. Y la historia continua.

PROPORCIÓN ÁUREA

Según los conocedores de arte, la forma rectangular que produce mayor sensación de armonía y belleza es la llamada proporción áurea, la cual se obtiene agregando a un cuadrado un rectángulo adicional de modo que tenga la misma proporción que el rectángulo completo. De esta condición obtenemos la relación x/1 = 1/(x-1) que nos lleva a la ecuación x^2-x=1 cuya solución es también un número irracional x=1.618033989.....

PREGUNTAS CAPCIOSAS wwww.sabiasque.info

Si en una carrera adelantas al segundo lugar, ¿en qué posición quedas?, y si adelantas al último ¿en qué lugar terminas? R= Al pasar al segundo ocupas su lugar quedando en la segunda posición. La segunda pregunta es contradictoria pues si vas detrás del último, entonces él no es el último.

¿Cuál era el monte más alto del mundo antes de descubrirse el Everest?

Cuatro gatos atrapan cuatro ratones en cuatro minutos. ¿cuánto tardan cien gatos en cazar 100 ratones?

Un reloj tarda 5 segundos en dar 6 campanadas, ¿cuánto tardará en dar 12 campanadas?

¿Qué es más barato: invitar a un amigo al fútbol dos veces o invitar a dos amigos una vez?

¿Para qué números enteros distintos de cero es cierto que A + B + C = A x B x C ? (lo curioso es que sólo hay una solución)

En una caja hay 5 canicas rojas y 5 verdes. ¿cuántas canicas tendrá que sacar para estar seguro de tener al menos 2 canicas del mismo color?

Un objeto vale diez dólares más de la mitad de lo que vale. ¿cuánto vale?

A una competencia de atletismo sólo acudieron 2 deportistas un Francés y un Alemán. Ganó el francés y los reporteros galos afirmaron: Francia primer lugar, Alemania último. Sin embargo un periodista alemán dio la noticia de un modo que, sin mentir , daba la impresión de todo lo contrario. ¿qué habrá dicho?

¿Cuál es el error del siguiente razonamiento? 1/4 peso = 25 centavos por lo que sacando raíz cuadrada 1/2 peso = 5 centavos y por tanto 50 = 5.

Si un tronco pesa 100 Kg, ¿cuánto pesará uno del doble de largo pero la mitad de grueso? ¿y uno de la mitad de largo pero el doble de grueso?. (La respuesta no es 100 Kg)

Una vieja historia narra que cierto día un comprador se acercó a un vendedor de espárragos y le dijo: -- Traigo este cordel que mide un palmo, ¿cuánto me cobraréis por el mazo de espárragos que pueda atar con él?. El vendedor pidió 10 reales. A los dos días, regresó y le dijo: Este cordel mide el doble del anterior, así que os pagaré 20 reales, si lo veis justo. El aldeano aceptó, aunque quedó con cierta duda si le habría engañado o no el comprador.

Enciendes una vela cada 30 segundos. Las velas se consumen en 5 minutos. ¿cuántas velas estarán encendidas a los 4, 10, 20 y 30 minutos? R: A los 4 minutos habrá 9 velas y de los 5 minutos en adelante habrá siempre 10 velas encendidas pues cada 30 segundos prendes una y se apaga otra.

VUELTAS

Dos autos inician una carrera en un circuito de 3 km. El auto A tarda un minuto en cada vuelta. El B minuto y medio. Después de una hora ¿cuántas veces habrá rebasado el auto A al B?

CRUZANDO EL RÍO

3 soldados debían cruzar un río. Pidieron a un par de muchachos que venían en una balsa que los llevaran. Pero se dieron cuenta que la balsa sólo aguantaba a uno de ellos a la vez; ni siquiera aguantaba a un soldado y un muchacho. ¿cómo le hicieron para cruzar?.

ACERTIJOS www.sabiasque.info

Un reo tiene ante sí dos puertas: una lo conduce a la libertad y la otra a la silla eléctrica. Puede hacer una sóla pregunta a uno de los guardias de las puertas. Uno de ellos siempre miente y el otro dice la verdad. ¿Qué debe preguntar para salvarse? R: ¿qué puerta diría tu compañero que debo abrir para salir? y dirigirse a la puerta contraria.

En un pueblo se celebró una insólita carrera de caballos en la que ganaría el caballo que llegara último. Naturalmente ninguno de los jinetes quería avanzar. Después de media hora en que no pasaba nada y el público comenzaba a retirarse, se acercó un espectador y algo les dijo a los jinetes, que hizo que montaran atropelladamente y echaran a correr a toda velocidad hacia la meta. ¿qué fue lo que les dijo? R: P UESTO QUE GANA EL CABALLO QUE LLEGUE AL ÚLTIMO, CADA QUIÉN MONTE EL CABALLO DE OTRO.

Estas frente a tres apagadores, un pasillo y al fondo una habitación con la puerta cerrada. ¿Cómo saber cuál de los apagadores enciende el foco de la habitación recorriendo el pasillo una sola vez? R: Enciendes el apagador 1 y esperas 5 minutos, lo apagas y enciendes el 2. Recorres el pasillo y abres la puerta: Si el foco está encendido, el apagador 2 es el bueno, si está apagado pero caliente es el 1 y si está frío, debe ser el 3.

CONJETURA DE GOLDBACH

Es curioso que aunque la matemática se ha diversificado y complicado cada vez más, siguen existiendo problemas "simples" no resueltos. Uno de ellos dice que cualquier número par es suma de 2 números primos (los que no tienen otros divisores: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...). Por ejemplo 10=3+7 12=5+7 14=7+7 ó 3+11, etc. Parece ser cierta esta conjetura pero nadie lo ha probado. Con encontrar un contraejemplo, es decir un número par que no se pueda expresar como suma de 2 primos es suficiente para invalidar la conjetura, pero nadie lo ha encontrado, de hecho de existir sería un número muy grande pues por computadora se ha comprobado la conjetura para todos los números menores a 2x10^16 además con números grandes aumenta el número de maneras de obtener la suma.

Otra conjetura que nadie ha podido probar es que existen infinidad de números primos gemelos (separados 2 unidades), por ejemplo 5 y 7, 11 y 13, 71 y 73, etc. Lo que si se probó desde Euclides por allá del año 300 ac es que hay infinidad de números primos.

TEOREMA DE PITÁGORAS (582-507 ac) www.sabiasque.info

Es sin duda el más famoso de las matemáticas. Probablemente es el que tiene más demostraciones (algunos creen que más de mil), en parte porque en alguna época se pedía una nueva demostración para obtener el grado de Maestro. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos a² + b² = c². A la derecha vemos dos demostraciones geométricas simples y elegantes del teorema (aunque muy simmilares). En la primera, la suma de las áreas a² y b² debe ser igual a c² pues en ambos casos se completa el cuadrado con 4 trángulos iguales. Nótese que la primera imagen también es una demostración geométrica del trinomio cuadrado perfecto (a+b)² = a² +2ab+b²

MÖBIUS

Usualmente una superficie tiene 2 caras independientes: en una hoja de papel tenemos el frente y el reverso, en un globo tenemos el exterior y el interior, etc. El matemático alemán August Ferdinand Möbius descubrió en 1858 que hay superficies de una sola cara. Corta una tira de papel y une los dos extremos dándole media vuelta a uno de ellos. Tenemos una superficie de una sola cara y un solo borde. Dibuja una línea al centro y observa que regresa al punto inicial en un solo trazo. Recorre con el dedo el borde y comprueba que pasa por el punto opuesto y regresa al punto de partida. ¿Qué crees que sucede si cortamos la cinta por el centro?. Lo lógico es pensar que quedarán dos cintas separadas como ocurriría de no haber dado media vuelta antes de unir los extremos.

Fuente: http://www.sabiasque.info